Sowohl Acostas Vater als auch sein Großvater sind Fischer und auch für den jungen Pedro war dieser Beruf vorgesehen, wenn er nicht angefangen hätte, Motorrad zu fahren. Sein Spitzname, Tiburón de Mazarrón, Hai von Mazarrón, seinem Heimatort in der Provinz Murcia, kommt daher. Das Boot seiner Familie, die Peretujo, war sein ersten Sponsor, und seine Mitbürger gründeten einen kleinen Fanclub, um ihn zu unterstützen.
Der Vater und sein Beruf waren für ihn schon immer Inspiration: „Er hat mir von klein auf beigebracht, dass du für das, was du wirklich willst, kämpfen musst.“ Dies ist auch der Grund dafür, dass er relativ wenig Zeit in den sozialen Medien verbringt und stattdessen lieber trainiert, denn, auf der Maschine zu sitzen, ist das, was ihm wirklich Spaß macht. Das zeigt er auch bei seinen extremen Bremsmanövern, für die er berühmt wurde und für die er die Bremsanlage von Brembo einsetzt, die so wie er in diesem Jahr ihr Debüt in der Moto3 gab.